الدالة الأسية في البكالوريا: الدرس كاملاً مع أمثلة محلولة وأخطاء شائعة

الدالة الأسية من أهمّ دروس الرياضيات في السنة الثالثة ثانوي، ويدرسها تلاميذ الشعب العلمية والتقنية: العلوم التجريبية، والرياضيات، والتقني رياضي. وأهمّيتها لا تتوقّف عند الرياضيات: تجدها في الفيزياء في دراسة شحن المكثّفة والتناقص الإشعاعي، ولهذا تنصّ التدرّجات الرسمية على تقديمها في وقت مبكّر من السنة.

في هذا الدليل نشرح الدرس كما يقدّمه البرنامج الرسمي، خطوة بخطوة، مع أمثلة محلولة وأخطاء شائعة يقع فيها التلاميذ.

أين يقع هذا الدرس في البرنامج؟

حسب التدرّجات السنوية التي أصدرتها المفتشية العامّة للبيداغوجيا لشعبة العلوم التجريبية، يأتي درس «الدالتان الأسية واللوغاريتمية» في الفصل الأوّل، مباشرة بعد درس الاشتقاقية والاستمرارية، ويُخصَّص له نحو أسبوعين. ويليه درس النهايات ثمّ التزايد المقارن ودراسة الدوال.

لذلك تحتاج قبل البدء إلى إتقان حساب المشتقّات ودراسة إشارة المشتقّة، فهما أداتان أساسيتان في كلّ ما يلي.

1. التعريف: من أين تأتي الدالة الأسية؟

يقدّم البرنامج الرسمي الدالة الأسية بطريقة خاصّة: لا بصيغة جاهزة، بل كحلّ لمعادلة تفاضلية.

التعريف: توجد دالة وحيدة f قابلة للاشتقاق على ℝ تحقّق: f′ = f و f(0) = 1. تُسمّى هذه الدالة الدالة الأسية، ويُرمز لها بالرمز exp.

معنى ذلك ببساطة: الدالة الأسية هي الدالة التي مشتقّتها تساويها، وقيمتها عند الصفر تساوي 1. وفي القسم يُبنى عادةً حلّ تقريبي لهذه المعادلة بطريقة أولير باستعمال مجدول، ثمّ يُقبَل وجود الحلّ.

2. الخواصّ الأساسية

من التعريف تُستنتج الخواصّ التالية، وهي التي ستستعملها في كلّ تمرين:

• من أجل كلّ عدد حقيقي x: exp(x) > 0. الدالة الأسية موجبة تماماً دائماً، ولا تنعدم أبداً.


• من أجل كلّ عددين حقيقيين a و b: exp(a + b) = exp(a) × exp(b).


• exp(−a) = 1 / exp(a) و exp(a − b) = exp(a) / exp(b).


• من أجل كلّ عدد طبيعي n: exp(na) = (exp(a))ⁿ.

الترميز e^x

نرمز للعدد exp(1) بالحرف e، وقيمته التقريبية e ≈ 2,718. وبسبب الخاصّية exp(na) = (exp a)ⁿ نكتب exp(x) = e^x. فتصبح الخواصّ بهذا الترميز:

3. اتّجاه التغيّر وحلّ المعادلات والمتراجحات

بما أنّ (e^x)′ = e^x وأنّ e^x > 0، فالمشتقّة موجبة تماماً، إذن الدالة الأسية متزايدة تماماً على ℝ. ومن هذه النتيجة البسيطة نستخرج أداتين ستستعملهما في أغلب التمارين:

• e^a = e^b تكافئ a = b.


• e^a < e^b تكافئ a < b.

أي أنّنا نستطيع «حذف» الأسّية من الطرفين، فتتحوّل المعادلة أو المتراجحة إلى معادلة أو متراجحة عادية.

مثال محلول 1: معادلة بتغيير المتغيّر

حلّ في ℝ المعادلة: e^2x − (e + 1)e^x + e = 0.

الحلّ: نلاحظ أنّ e^2x = (e^x)². نضع t = e^x مع t > 0، فتصبح المعادلة:

t² − (e + 1)t + e = 0

هذه معادلة من الدرجة الثانية. نلاحظ أنّ t = 1 حلّ لها (لأنّ 1 − e − 1 + e = 0)، وجداء الحلّين يساوي e، إذن الحلّ الثاني t = e. والحلّان موجبان، فهما مقبولان.

• e^x = 1 = e⁰ تعطي x = 0.


• e^x = e = e¹ تعطي x = 1.

إذن مجموعة الحلول هي {0 ; 1}.

انتبه: لو أعطاك تغيير المتغيّر حلّاً سالباً لـ t، فهو مرفوض، لأنّ e^x لا تكون سالبة أبداً.

مثال محلول 2: متراجحة

حلّ في ℝ المتراجحة: e^{x² − 3} < e^2x.

الحلّ: بما أنّ الدالة الأسية متزايدة تماماً، فالمتراجحة تكافئ x² − 3 < 2x، أي x² − 2x − 3 < 0.

جذرا ثلاثي الحدود هما −1 و 3، أي x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3)، وهو سالب بين الجذرين. إذن مجموعة الحلول هي المجال المفتوح ]−1 ; 3[.

4. النهايات والتمثيل البياني

• lim e^x = +∞ عندما يؤول x إلى +∞.


• lim e^x = 0 عندما يؤول x إلى −∞. إذن المستقيم ذو المعادلة y = 0 (محور الفواصل) مقارب أفقي للمنحنى بجوار −∞.


• lim (e^x − 1) / x = 1 عندما يؤول x إلى 0. وهذه في الحقيقة هي العدد المشتقّ للدالة الأسية عند الصفر.

المنحنى يمرّ بالنقطة (0 ; 1)، ومعادلة المماس عندها هي y = x + 1. ومن النتائج الكلاسيكية أنّ المنحنى يقع دائماً فوق هذا المماس، أي أنّ e^x ≥ x + 1 من أجل كلّ عدد حقيقي x. ويمكنك إثبات ذلك بدراسة الدالة h(x) = e^x − x − 1: مشتقّتها e^x − 1 تنعدم عند 0، فتبلغ h قيمتها الصغرى h(0) = 0.

5. مشتقّة الدالة e^u

إذا كانت u دالة قابلة للاشتقاق على مجال، فإنّ:

(e^u(x))′ = u′(x) × e^u(x)

ومن أهمّ الحالات الخاصّة: (e^kx)′ = k × e^kx، وهي الصيغة التي ستلتقي بها كثيراً في الفيزياء.

مثال: مشتقّة g(x) = e^−x²: هنا u(x) = −x² و u′(x) = −2x، إذن g′(x) = −2x × e^−x².

6. مثال محلول 3: دراسة دالة كاملة

لتكن الدالة f المعرّفة على ℝ بـ: f(x) = (x − 1)e^x.

المشتقّة: نشتقّ جداءً: f′(x) = 1 × e^x + (x − 1) × e^x = x × e^x.

الإشارة: بما أنّ e^x > 0، فإشارة f′(x) هي إشارة x. إذن f متناقصة على ]−∞ ; 0] ومتزايدة على [0 ; +∞[، وتبلغ قيمتها الصغرى عند x = 0: f(0) = (0 − 1) × 1 = −1.

النهايات:

• عند +∞: x − 1 يؤول إلى +∞ و e^x يؤول إلى +∞، إذن lim f(x) = +∞.


• عند −∞: نكتب f(x) = x e^x − e^x. ونعتمد هنا على نتيجة من درس التزايد المقارن (الدرس الذي يلي في البرنامج): lim x e^x = 0 عند −∞. إذن lim f(x) = 0 − 0 = 0، والمستقيم y = 0 مقارب أفقي.

المماس عند النقطة ذات الفاصلة 1: f(1) = 0 و f′(1) = 1 × e¹ = e، إذن معادلة المماس: y = e(x − 1).

7. الأخطاء الأكثر شيوعاً

• الخلط بين المجموع والجداء: e^a+b تساوي e^a × e^b لا e^a + e^b. للتأكّد: e² ≈ 7,39 بينما e + e ≈ 5,44.


• نسيان u′ في الاشتقاق: مشتقّة e^3x هي 3e^3x لا e^3x.


• قبول حلول مستحيلة: المعادلة e^x = −2 ليس لها حلّ، لأنّ الدالة الأسية موجبة تماماً. وكذلك أيّ حلّ سالب لـ t = e^x يُرفض.


• الخطأ في النهاية عند −∞: نهاية e^x عند −∞ هي 0 لا −∞.


• الخلط بين e^x² و (e^x)²: الثانية تساوي e^2x، وهي مختلفة تماماً عن الأولى.

8. تمرين للتدريب

لتكن الدالة k المعرّفة على ℝ بـ: k(x) = x e^−x.

1. بيّن أنّ k′(x) = (1 − x)e^−x.


2. ادرس اتّجاه تغيّر الدالة k، وعيّن قيمتها الحدّية.


3. احسب نهاية k عند −∞. (أمّا نهايتها عند +∞ فتحتاج نتيجة من درس التزايد المقارن.)

للتحقّق من نتائجك: k متزايدة على ]−∞ ; 1] ومتناقصة على [1 ; +∞[، وقيمتها العظمى k(1) = e⁻¹ = 1/e، ونهايتها عند −∞ هي −∞.

خلاصة ما يجب أن تحفظه

• الدالة الأسية هي الحلّ الوحيد لـ f′ = f مع f(0) = 1.


• موجبة تماماً، ومتزايدة تماماً، و e⁰ = 1 و e ≈ 2,718.


• e^a+b = e^a × e^b، و (e^u)′ = u′e^u.


• النهايات: +∞ عند +∞، و 0 عند −∞.


• e^a = e^b ⇔ a = b، و e^a < e^b ⇔ a < b.

والدرس التالي في البرنامج هو الدالة اللوغاريتمية النيبيرية، التي تُعرَّف انطلاقاً من الدالة الأسية: فهي التي تحلّ المعادلة e^x = a من أجل كلّ عدد a موجب تماماً.

المرجع: التدرّجات السنوية لمادّة الرياضيات، السنة الثالثة من التعليم الثانوي — المفتشية العامّة للبيداغوجيا، وزارة التربية الوطنية. وكلّ الأمثلة والتمارين في هذا المقال من إعداد BacZone، وقد تحقّقنا من نتائجها حسابياً.